牛顿-莱布尼茨公式（也称为微积分基本定理）是微积分学中的一个核心定理，它将微分和积分联系起来，表明两者是互逆的运算。具体内容如下：

公式表述

若函数 \( F(x) \) 是连续函数 \( f(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上的一个原函数（即 \( F'(x) = f(x) \)），则有： \[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] 通常记作： \[ \int_a^b f(x) \, dx = \left. F(x) \right|_a^b \]

意义

1. 微分与积分的互逆性：
   该公式表明，求定积分（积分的一种）可以通过求原函数（即不定积分）在区间端点的差值来实现，从而将积分问题转化为微分问题。

2. 简化定积分计算：
   无需通过极限求和（黎曼和）计算定积分，只需找到被积函数 \( f(x) \) 的一个原函数 \( F(x) \)，再代入上下限即可。

示例

计算 \( \int_0^1 x^2 \, dx \)： 1. 找到 \( f(x) = x^2 \) 的原函数：\( F(x) = \frac{1}{3}x^3 + C \)（\( C \) 为常数）。 2. 代入上下限： \[ F(1) - F(0) = \frac{1}{3} \cdot 1^3 - \frac{1}{3} \cdot 0^3 = \frac{1}{3}。 \] 因此，\( \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3} \)。

注意事项

• 函数连续性：公式要求 \( f(x) \) 在 \([a, b]\) 上连续。若 \( f(x) \) 有间断点，需分段处理或考虑广义积分。
• 原函数的存在性：\( F(x) \) 必须是被积函数 \( f(x) \) 的精确原函数（导数完全匹配）。

历史背景

该公式由牛顿和莱布尼茨在17世纪独立发现，标志着微积分学的诞生，为现代数学和物理学奠定了基础。

通过牛顿-莱布尼茨公式，复杂的积分计算问题被简化为寻找原函数，极大地推动了科学和工程领域的发展。